Bolyai János abszolút geometriájának 200. évfordulójára
A szabályos testek Coxeter-Schläfli-féle W(u, v, w) karakterisztikus baricentrikus A0A1A2A3 = b^0b^1b^2b^3 derékszögű szimplex-szel (orthoscheme) történő jellemzése természetesen vezet a szimplex-lapszögekkel: β^01 = π/u, β^12 = π/v, β^23 = π/w, β^02 = β^03 =β^13 = π/2 történő megadásához. Például a szokásos euklideszi kockát W(4, 3, 4), a hiperbolikus, 2π/5 lapszögű kockát W(4, 3, 5) jellemzi.
Az algebra nyelvén is fogalmazva: Az A0A1A2A3 projektív koordináta szimplex V^4 valós vektorterében X(X ~ cX) "vektorsugarak" jellemzik az X = X^i⋅Ai pontokat, a b^0b^1b^2b^3 duális koordináta szimplex V^4 duális formatere jellemzi az u(u ~ uc), u = b^j⋅uj síkokat. 0 = Xu = X^i⋅ui az X pont és az u sík illeszkedésének feltétele, Aib^j = δi^j (Kronekker-szimbólum). A V^4 duális tér bázisával bevezetett szimmetrikus Coxeter-Schläfli mátrix
(b^ij) := (<b^i,b^j> := (cos(π – β^ij)), β^ii = π formális skalárszorzatot értelmez éppen a lapszögek mérésére, inverze pedig:
(b^ij)^-1 := (Aik) := <Ai, Ak> éppen a távolságok mérésére a hiperbolikus H^3 geometria Beltrami-Cayley-Klein projektív metrikus modelljében vezet be skalárszorzatot. A skalárszorzatok szignatúrája (+++–) lesz a hiperbolikus geometria jellemzője. A fenti (b^ij) szignaturája (+++0) lesz a szokásos E^3 euklideszi geometria esetében (szinguláris metrika), és persze további lehetőségek is vannak a szignatúrára.
A fentiekkel érzékeltettük, hogy a geometria (illetve bizonyos geometriák) a valós (sőt komplex) lineáris algebra apparátusával fejezhető ki, de Bolyai János abszolút geometriai szemléletével vizuálisan is követni tudjuk, számítógépes ábrákkal szemléltethetjük a viszonyokat (ezek a Thurston-féle homogén Riemann-geometriák, lásd poszterünket a H épület 2. emeleti folyosón).
Így a krisztallográfia a "nano-világban" (1 nanométer = 10^-9 m) nem-euklideszi szemlélettel is elképzelhető és a kristálytani alkalmazások számára is lehetőséget nyújt.
A fenti W(u, v, w) orthoscheme u = v = w = 2z, 3 ≤ z páratlan szám esetén A0 és A3 B-C-K modellen kívüli csúcsokkal is rendelkezik. Az a0, a3 polársíkokkal levágott csonkolt orthoscheme, lapsíkjaira tükrözve, képeivel kitölti a Bolyai-Lobacsevszkij-féle hiperbolikus teret szép szabályos módon. Ez a poliéder-kitöltés anyagi részecskékkel, atomokkal, molekulákkal tölthető meg (esetleg csak lokálisan), melyeket első közelítésben egyforma gömbökkel (labdákkal) modellezhetünk. A fenti tükrözés-csoportnak alkalmas fixpontmentes részcsoportjaival kompact hiperbolikus nano-cső sokaságokat értelmezhetünk, melyek az euklideszi rácsok szerepét töltik be. Sűrű gömbkitöltések optimális (kemény) anyagokat eredményezhetnek, mint a gyémánt (vagy a kősó) euklideszi terünkben.
Az előadásban és benyújtott dolgozatunkban kezdeti, számítógépes eredményeket mutatunk be, és példákkal illusztráljuk a fentieket. Az eddigi és sejtett legsűrűbb hiperbolikus gömbkitöltés sűrűsége 0, 77... (az euklideszi legsűrűbb: a bizonyított Kepler-sejtés szerint 0,74...). A mostani rekordunk: 0,69..., de ez még, remélhetően, növekszik!